Список тематики страницы
1) таблица умножения
2) устный счет
3) умножение чисел
4) умножение двузначных чисел, умножение трехзначных чисел
5) запомнить таблицу умножения
6) способы умножения
7) скачать таблицу умножения
8) запомнить таблицу умножения
Об умножении простых чисел или как выучить (запомнить) быстро и легко таблицу умножения 10*10 написал целую статью здесь, она находится в рубрике "Каталог статей".
В этой статье рассмотрим более расширенно тему умножения чисел.
При умножении чисел есть несколько методов или приемов. Я попробую их описать. Для начала разделим на два раздела и опишем эти случаи.
1) Умножение двузначных чисел. В зависимости от вида чисел тут тоже можно выделить несколько методов. Вообще для умножения двузначных чисел очень полезно знать таблицу умножения чисел до 20 (обычно в школе учат до 10 и останавливаются). Я рекомендую выучить таблицу до 20. Потом, если появится желание - продолжить заучивание таблицы умножения до 100. Это поможет при умножении трехзначных и четырехзначных чисел.
2) Умножение на конкретные числа. Под конкретными в разных источниках можно встретить разные числа. Начиная с банального умножения на 10 до умножения на 75. Некоторые источники приводят умножение на некоторые специфичные трехзначные числа. Сюда же будет входить умножение на однозначные числа.
В зависимости от чисел я выбираю и метод. Не торопитесь перемножать, сначала определись с методом, потом бросайтесь умножать по выбранному методу. На выбор метода уходят доли секунд, то зато выбор наиболее простого метода экономит значительно больше времени и сил.
Я совсем не утверждаю, что я - супервычислитель, просто калькулятор у меня появился в 11 классе, и до приобретения я спокойно вычислял в уме - а если бумага была под рукой, то... Сейчас для меня это как переоткрытие - решил поделится с Вами методами, и вспомнить давно забытое.
1) Умножение двузначных чисел.
а) Для умножения двузначных чисел подходит метод креста. Это наиболее общий метод. Покажу на конкретных примерах. Потом выведем общее правило.
Пример 1. Необходимо 27*96.
Представим 27*96=2*9*100+(2*6+7*9)*10+7*6=1800+750+42=2550+42=2592
Пример 2. Необходимо 39*78. 39*78=3*7*100+(3*8+9*7)*10+9*8=2100+870+72=2970+72=3042
Думаю достаточно. При обычном умножении (столбиком) Вы делаете тоже самое - просто в другом порядке:"Вы умножаете 27*6, то есть умножаете 6*7+20*6=6*7+2*6*10 записываете в одно строке и умножаете 27*90=(9*7*10+20*9)*10=(9*7*10+2*9*10)*10 - из-за того что разряд на 1 больше (умножаете на 10) Вы записываете со смещением. Теперь можно даже расписать
27*96=(20+7)*(90+6)=20*90+7*90+20*6+7*6=2*9*100+7*9*10+2*6*10+7*6=2*9*100+(7*9+2*6)*10+7*6 ".
Этот способ редко показывают в школах, потому что он труден для объяснения и не все дети его поймут. Но как видно он более прост для устного умножения. Здесь видно, что используется формула (a+b)*(c+d) и особенность десятичной системы счисления. Потренируйтесь и Вы привыкните.
Итак правило: Для того, чтобы умножить одно двузначное число на другое двузначное число необходимо:
1) цифры десяток перемножить между собой, умножив на 100,
2) перемножить "крайние" цифры чисел между собой попарно (справа и слева), и перемножить внутренние цифры между собой при записи в строчку. Результат сложить и умножить на 10. (При записи столбиком перемножаются на крест: единицы одного числа на десятки другого и наоборот. Результат складывается и умножается на 10.)
3) перемножить цифры единиц.
4) Сложить 3 результата:1)+2)+3).
Собственно других комбинаций попарного умножения (их всего 4) для двухзначных чисел и нет. А суммировать ведь можно по разному. От этого и меняются способы записи методов умножения. В школе напоминаю обучают только одному методу(назовем его метод "галочки"), когда числа умножают в порядке следования. В предлагаем методе "креста" умножение и сложение также чередуется, но складываются более "легкие" числа. Методу "галочки", которому обучают в школе просто наиболее удобен для "обучения". А быстро и удобно будут дети умножать или нет это никого не волнует. Согласитесь немногие поняли вышеописанный метод с первого раза. Многие бегло прочитали, не поняли ничего, и ... продолжают умножать как учили. Почему я один метод называют метод "креста", а другой метод "галочки" будет ясно из рисунков.
б) Умножение чисел вида (10x+a)*(10x+b), где x - одинаковое число десятков и a+b=10 (1) Например, 51*59; 42*48; 83*87; 94*96, 65*65, 115*115. То есть Вы видите, что десятки у них одинаковые, а сумма единиц дает 10.
Правило: Для того чтобы умножить два числа вида (1), необходимо число десятков X умножить на число, большее на 1 - это (X+1), а справа приписать результат умножения единиц в виде двузначного числа.
помним, что вид (1), числа удовлетворяют следующему условию: число десятков одинаковое, цифры единиц двух чисел в сумме дают 10.
Пример 3. 51*59=? Видим, что числа удовлетворяют (1). 5*6 (ведь 5+1=6), 5*6=30 . К 30 справа пишем 09=1*9 (приписываем не 9, а 09) Результат 3009=51*59.
Пример 4. 42*48=? 4*5=20 и 2*8=16. Результат 2016=42*48
Пример 5. 25*25=? 2*3=6 и 5*5=25 Результат 625 Как видите хваленные способы умножения 15*15,25*25 и т.д.( или возведения в квадрат чисел вида а5*а5) это всего лишь частный случай вышеописанного метода - 1б) , который в свою очередь еще более частный случай.
Примечание, я сначала написал, что а=1...9, но это не совсем верно вы можете умножить и 372*378 (число десятков 37). Метод будет справедлив и для таких случаев. 37*38=1406 и 2*8=16 Итого результат 140616=37*38. Проверьте. Разумеется правило умножения под б) можно строго математически доказать, но у меня сейчас нет на это времени. Поверьте пока мне на слово или сами для себя докажите его. Лучше вместо этого пока напишу другие правила, которые сидят у меня в голове.
Нашел время записать доказательство
Пусть первый сомножитель 10x+a, второй сомножитель 10х+b, где a+b=10 х число десятков, тогда
(10х+a)*(10x+b)=100x*x+10xa+10xb+ab=10x*(10x+a+b)+ab= [a+b=10 по условию]=10x*(10x+10)+ab=10x*10(x+1)+ab=x*(x+1)*100+ab Отсюда видим, что математически записано правило, которое записано словами.
в) Умножение чисел вида 48*52; 37*43, 64*56. Т.е. умножение, тех чисел которые отстоят от "основания" на одинаковое число единиц. Для таких чисел применима простая формула (a+b)*(a-b)=(a-b)*(a+b)=a2-b2
Пример 6. 48*52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496
Пример 7. 37*43=(40-3)*(40+3)=1600-9=1591
г) Умножение одинаковых чисел - возведение в квадрат. Для некоторых чисел удобно использовать формулу бинома Ньютона: (a±b)2=a2±2*a*b+b2
Пример 8. 38*38=(40-2)*(40-2)=1600-2*40*2+4=1600-160+4=1444
Пример 9. 41*41=(40+1)*(40+1)=1600+2*40*1+1=1681
д) Умножение двух чисел, заканчивающихся на 5. (число десятков двух множителей различается на 1)
Рассмотрим несколько примеров: 15*25=375; 25*35=875; 35*45=1575; 45*55=2475 Как видим результат такого умножения всегда заканчивается на 75. Счёт же производится аналогичным способом -1б) с добавлением справа к результату 75: меньшее число десятков умножается на число, получающееся из числа десятков второго сомножителя с добавлением 1, справа от такого произведения дописываем 75.
Пример 10. 25*35 - - - 3+1=4 ( к большему числу к числу десятков прибавляем 1); 2*4=8 дописываем 75. Результат - 875. Аналогично 15*25=? 2+1=3; 1*3=3 15*25=375.
Пример 11. 75*85 - - - 8+1=9; 7*9=63 Результат 6375
Пример 12. 105*115 - - - 11+1=12; 10*12=120 120 и дописываем 75. Результат 12075
е) Иногда помогает такой прием. Если оба множителя двузначные, то один множитель можно разложить на десятки и единицы.
Пример 13. 32*26=32*(20+6)=640+192=832
Пример 14. 42*23=42*(20+3)=840+126=966
Примечание. Разбивать на десятки и единицы лучше тот множитель, который по модулю меньше.
ж) Если множимое или множитель разлагается на простые сомножители, то используя переместительный закон можно добится существенного упрощения.
Пример 15. 45*14=45*(2*7)=(45*2)*7=90*7=630
Во сколько раз увеличили один из сомножителей - во столько раз другой уменьшили.
з)
Умножение двух чисел вида 1* (т.е. оба числа удовлетворяют неравенству 10<х<20 (1)).
1) Умножение на 11 и 15 мы уже рассмотрели в разделе умножение на конкретное число. Их можно умножить либо "своим" способом, либо по:
2) Для того, чтобы умножить два числа вида (10<х<20) необходимо к одному из них прибавить число единиц другого и дописать ноль, к результату прибавить результат умножения цифр единичного разряда двух умножаемых чисел. Примечание , если результат умножения единиц чисел меньше 10, то просто дописываем к результату первого шага или прибавляем
Вот такие основные приемы нужно знать при умножении двузначных чисел.
Разумеется комбинируя основные свойства сложения и умножения можно привести "сложные" случаи к частным вышеописанным.
Пример 16. 37*53=37*(43+10)=37*43+370=1591+370=1961 (37*43 - это пример 7)
Пример 17. 42*47=42*(48-1)=42*48-42=2016-42=1974 42*48 смотри пример 4
Чем чаще вы будете "тренироваться", тем лучше и быстрее будете считать. Возможно у Вас появятся свои методы устного счета.
